文章摘要

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在计算机系统中，负数的二进制表示主要通过 补码（Two's Complement） 实现。补码的设计目的是为了简化计算机的算术运算（尤其是加减法），并统一处理正数和负数。以下是关键步骤和原理： 1. 原码（Sign-Magnitude） 最简单的表示方法： 最高位为符号位（0 表示正数，1 表示负数

在计算机系统中，负数的二进制表示主要通过 补码（Two's Complement） 实现。补码的设计目的是为了简化计算机的算术运算（尤其是加减法），并统一处理正数和负数。以下是关键步骤和原理：

1. 原码（Sign-Magnitude）

最简单的表示方法：

• 最高位为符号位（0 表示正数，1 表示负数），其余位表示绝对值。
• 例如，8 位二进制中：
  • +5 → 00000101
  • -5 → 10000101
• 缺点：
  • 存在 +0（00000000）和 -0（10000000）两种零，导致逻辑复杂。
  • 加减法需要单独处理符号位，硬件实现复杂。

2. 反码（One's Complement）

• 负数的反码：符号位保持为 1，数值位逐位取反。
• 例如：
  • +5 → 00000101
  • -5 → 11111010
• 缺点：
  • 同样存在 +0 和 -0 的问题。
  • 加减法仍需处理进位问题（例如 -5 + 5 需要额外补 1）。

3. 补码（Two's Complement）（现代计算机使用）

• 补码的生成规则：
  1. 正数的补码 = 原码。
  2. 负数的补码 = 反码 + 1（即原码取反后加 1）。
• 示例（8 位二进制）：
  • +5 → 00000101
  • -5：
    1. 原码：10000101
    2. 反码：11111010
    3. 补码：11111011
• 优点：
  • 统一了正负数的加减法运算（直接使用加法器即可完成）。
  • 消除了 +0 和 -0 的冗余（唯一表示 00000000）。
  • 符号位直接参与运算，无需特殊处理。

4. 补码的特性

• 范围：对于 n 位二进制，补码可表示的范围为：
  • 正数：0 到 2^(n-1) - 1
  • 负数：-1 到 -2^(n-1)
  • 例如，8 位补码范围是 -128（10000000）到 +127（01111111）。
• 快速判断负数：最高位为 1 时是负数，为 0 时是正数。
• 补码的补码是原数：对补码再次取补码，可以得到原数。

5. 补码运算示例

• 计算 5 - 3：
  1. 5 → 00000101
  2. -3 → 11111101（补码形式）
  3. 相加：00000101 + 11111101 = 1 00000010（溢出位舍弃）
  4. 结果：00000010（即 +2）。

6. 其他表示方法

• 移码（Excess-K）：主要用于浮点数的指数部分，将数值整体偏移一个固定值（例如 K=127 用于 32 位浮点数）。
• BCD 码：直接对十进制数字编码，但一般不用于负数表示。

总结

现代操作系统和计算机统一使用 补码 表示负数，因为它完美解决了原码和反码的缺陷，简化了硬件设计，并保证了运算的高效性。